Spesso, chi dedica la vita ad una branca del sapere, ritiene che quella disciplina sia la base di tutta la conoscenza umana. Ho assistito più di una volta a scontri dialettici (a volte fino al limite del dialettico, tendente al fisico!), tra matematici, filosofi, scienziati,…
Ma c’è una categoria di sapienti che, a mio parere, detiene il primato nella capacità di stimare la loro disciplina come unica e fondamentale per tutte le altre: la categoria dei logici.
Quella volta, a lezione di logica, il Professore, giovane e molto in gamba, era impegnato a spiegare un teorema.
«Questa è la base della conoscenza» – disse – «grazie a questa relazione, noi siamo in grado di conoscere il mondo. Tutte le altre scienze sarebbero nulla, senza la logica.»
Devo ammettere che anch’io ho sentito il fascino di quella dimostrazione (e lo sento anche per la logica come scienza).
Poi mi venne un dubbio: “ma siamo nel contesto della scoperta o della giustificazione?” – ho chiesto al professore.
Mi spiego meglio. Nel caso del metodo deduttivo, si parte da principi, veri e già dimostrati, per ricavarne altri attraverso la logica (dal particolare all’universale). Il problema è che il metodo deduttivo (su cui Platone voleva fondare la conoscenza) può essere applicato in pochi casi ed è difficile da applicare alle scienze della natura, che come tutti sanno sono state fondate sul metodo opposto, quello induttivo (parto da casi particolari, per ricavare la legge generale [Rif. metodo induttivo]).
Quello che volevo dire è che, in molte circostanze, la legge logica serve a giustificare una conoscenza già acquisita, o congetturata, ma non può servire per “fare una scoperta”. Anche in matematica, dove il metodo deduttivo può essere applicato in misura molto maggiore rispetto alle altre scienze, sovente, i matematici partono da congetture per poi arrivare a dimostrare logicamente i loro asserti.
Ma la congettura come nasce? Mistero,lampo di genio, o intuizione poetica, come molti hanno detto.
Effettivamente, il professore – che diceva di non comprendere la mia domanda – avrebbe potuto sottolineare che la potenza della matematica non risiede nelle intuizioni poetiche, quanto nella dimostrabilità logica di tutti i suoi asserti. Una valanga di proposizioni tra loro collegate, tutte rigorosamente dimostrate in modo logico (anche se ricordando Gödel, rimarrà sempre qualche proposizione non dimostrabile logicamente). Se cade una sola proposizione, cade tutta la matematica che contiene quella proposizione. Un effetto domino devastante. Nel caso contrario, se riesco a dimostrare una proposizione da cui ne conseguono molte altre, ho creato molta matematica.
Quindi, la logica è certamente fondamentale, ma per le scoperte non è sufficiente.
Un’area dell’intelligenza artificiale ricerca i modi di poter programmare una macchina in modo tale che possa creare autonomamente nuova conoscenza, ma ancora i risultati sono scarsi. La macchina è logica, ma non ha intuizioni, o mele che possa sentir cadere sulla sua testa.
C’è un aneddoto su David Hilbert (uno dei più grandi matematici di tutti i tempi), che può far comprendere meglio cosa intendo dire.
Un giorno gli dissero che un suo studente aveva abbandonato l’università per diventare un poeta. E Hilbert rispose “Non sono sorpreso. Non aveva abbastanza immaginazione per diventare un matematico.”
Foto di David Hilbert
Detto questo vorrei fare un piccolo esempio, con la semplicissima formula di Gauss, di cui avevamo già parlato in La semplicità del genio.
La somma dei primi N numeri interi positivi vale:
Somma= (N+1)* N/2
Se N= 100
Somma = 101 * 100/2 = 5050
Come ci si arriva in modo intuitivo?
1 + 100 = 101
2 + 99 = 101
3 + 98 = 101
…
49 + 52 = 101
50 + 51 = 101
Come possiamo osservare, c’è una struttura di base che si ripete. La somma tra alcune coppie di numeri dà il numero N (100) sommato ad 1. Questo succede per 50 volte, cioè N/2.
La scoperta non avviene attraverso la logica. E’ l’osservazione e l’intuizione che permettono quel salto tra l’ “ignorare qualcosa” e la sua conoscenza.
Così il piccolo Gauss ha trovato la formula. Quando poi il professore ha controllato la sua correttezza, non l’ha dimostrata, ma solo verificata.
Successivamente, per dimostrare la formula si può usare una dimostrazione che viene definita per induzione. E La dimostrazione per induzione è valida perché lo stabilisce la logica. Quindi la logica è certamente fondamentale, ma non è l’unico essere vivente nel mondo della conoscenza.
Il matematico Ramanujan Srinivasa Aaiyangar è un esempio di come si possano fare scoperte sensazionali, con la pura intuizione.
Egli inventava le formule dal nulla, affermando che gliele consegnava una certa Dea. Non aveva una preparazione universitaria, ma studiava autonomamente in un povero villaggio dell’India, con quei pochi libri che riusciva a rimediare. Ciò nonostante, le formule di Ramanujan sono di straordinaria bellezza:
dove 
è la sezione aurea.
“Ramanujan è stato uno dei più grandi matematici di tutti i tempi, al pari di Gauss o di Eulero, nonché un prodigio nelle capacità di calcolo: una specie di Mozart della matematica. Dotato di un talento straordinario per la teoria dei numeri, ha lasciato taccuini (Notebooks di Ramanujan) pieni di formule. Ancora oggi ci si chiede come abbia potuto scoprirle senza poterne dare delle vere dimostrazioni.”
Da Ramanujan
Foto di Ramanujan
Come abbiamo detto però, in matematica, niente dimostrazione significa nessuna validità. Quindi,dopo Ramanujan (che morì a soli 33 anni) molti tra i migliori matematici del mondo, si sono dovuti prodigare nella ricerca di possibili dimostrazioni delle formule di Ramanujan, altrimenti inutili.
Quindi, logica sì, ma non dimentichiamoci che, per le invenzioni, serve anche qualche ingrediente in più.
Qual’è il vostro rapporto con la logica ? Pensate sia fondamentale, o che in alcuni casi possa limitare la creatività del pensiero umano?
ciao nabla, complimenti per il bel sito!
sulla matematica non sono molto ferrata (ma sono molto affascinata), per quanto riguarda la logica non credo che “limiti” la creatività semplicemente perchè nessuno al mondo davvero pensa secondo la logica, quindi non può essere limitato da essa.
Credo che piuttosto la logica sia il modo in cui abbiamo creato un modello di come funziona una parte del nostro pensiero, per comprenderlo, fissarlo e poterlo ripercorrere, ma come tutti i modelli è molto semplificatore e spiega solo una parte del fenomeno.
sarebbe poi interessante vedere come questo è stato modificato ed evoluto con le evoluzioni più recenti della logica, che dovrebbero riuscire a rendere conto di una maggiore complessità del classico sillogismo.
Ciao Chiara benvenuta da queste parti.
Anch’io penso che la logica non limiti la creatività, ma bisogna tenere sempre la mente aperta ed elastica. A mio avviso,il rigore di certe discipline tende ad irrigidire un pochino il modo di ragionare.
La logica ha fatto passi da gigante nel nostro secolo ed ha avuto uno sviluppo incredibile.
La struttura formale della logica è andata ben oltre, il semplice sillogismo.
Basti pensare che lo sviluppo dell’informatica dipende in gran parte da quello della logica matematica.
Ciao
L’invenzione è sicuramente figlia del genio… poi la logica serve per mettere ordine, altrimenti potrebbe subentrare il caos…
un caro saluto
ciao nabla…..
riguardo il fatto che se cade una proposizione della matematica ne cade tutta la matica conseguente vorrei ricordare la relatività di einstein……
Be, se un giorno si scoprisse che la velocità della luce non è uguale in tutti i sistemi di riferimento tutta la teoria di einstein cadrebbe.
Sull’osservazione e quindi sul metodo induttivo si basa tutta la sua teoria articolata si con la logica ma nata senza di essa….. Infatti con la logica si era arrivati a dire che la velocità della luce non era la stessa in tutti i sistemi di riferimento ma la logica non combaciava con l’osservazione (per info vedi l’esperimento di Michaelson-Morley)e quindi l’uguaglianza della velocità della luce in tutti i sist di riferimento diventa un postulato e su questo postulato Einstein ci costruisce una teoria straordinaria….
La logica è una serie di passaggi matematici che un futuro computer super potente potrebbe anche creare, ma la logica si basa sull’intuizione, sul lampo di genio che un computer pur potente che sia non può mai avere.
Intelligenza artificiale? no nn credo sarebbe possibile, proprio xke un computer non avrebbe il lampo di genio ( la mela in testa di cui parli)…
E il paradosso????????????
la logica comune porta anche a paradossi, che nn credo un computer sarebbe in grado di risolvere, vedi il paradosso dei gemellidi einstein o magari anche i paradossi di zenone.
I paradossi possono essere risolti con l’ applicazione della logica.
Penso che la peculiarità dell’uomo sia proprio l’essere in grado di applicare la logica adatta all’evento adatto, cosa che dubito fortemente che un computer riesca a fare….
adoro la logica, per me è fondamentale…
ma non indispensabile, la creatività può anche lasciarsela dietro qualche volta;
il mondo, logicamente, è bello perché vario
a..
Dall Riga 26 alla 28 si sostiene che la logica non consente di fare una scoperta; io sostengo invece il contrario, che è la dimostrazione logica che pone il sigillo di ‘scoperta’. Si scopre per mezzo delle dimostrazioni, ed è per questo che sono due millenni che ci scervelliamo per scoprirle. Prima di avere una dimostrazione, la congettura vale quanto banconote da 25 euro, cioè nulla.
Chi si fida dell’intuizione prende granchi. Persino Eulero ne ha presi. Tutti invece ci fidiamo delle dimostrazioni (compreso Eulero, che incessantemente ne cercava di più rigorose, almeno secondo i canoni del suo tempo). Se per intuizione, come viene confuso in questo articolo, indichiamo invece la capacità di costruire assiomi che interiorizzino alcuni aspetti di quella che chiamiamo realtà (e non solo), allora il plauso potrebbe arrivare con poco sforzo ( gli antichi lo credevano), ma sarebbe ingannevole. Si converrà difatti che anche il posizionamento di un principio richiede una serrata analisi logica delle conseguenze che esso porterà.
In altre parole, anche l’intuizione si contestualizza al tessuto logico.
Ne è un caso celebre l’assioma di completezza, che Dedekind studiò nei particolari ragionando logicamente sugli assiomi di Euclide (anche su quelli che Euclide aveva dimenticato), accorgendosi di un assioma in particolare, quello di separazione, in cui vide con “gli occhi della logica” l’esatta inversione della continuità della retta reale.
Per 20 secoli nessuno lo aveva capito, perchè per 20 secoli nessuno aveva posto l’attenzione sulla forma logica degli enunciati euclidei.
La via semplice nella comprensione delle cose è sempre sbagliata, soprattuto in matematica, dove le regole logiche non lasciano spazio ai desideri.
Una dimostrazione di 10 righe ha distrutto i sogni dei Pitagorici.
Le mele cadute in testa a Newton non avrebbero prodotto risultati senza la neonata analisi di Cartesio, che mi sembra tutt’altro che intuitiva, per il solo fatto che..bhè lascio al lettore attento la risposta.
Con la mela volevo solo osservare come addirittura ciò che chiamiamo intuizione sia figlia della logica, o se preferiamo, di un simbolismo algebro-grammaticale capace di inglobare un sistema sintattico di deduzione, tutto da interpretare.
Ed è nell’interpretazione che oggi si giocano le risposte alle più grandi domande che l’uomo si sia mai posto da duemila anni a questa parte.
Saluti.
Parlo da matematico, e secondo me, dire che la logica sta alla base di ogni tipo di scienza va detto con cautela: poichè, per ragionamento logico si dovrebbe cerca osa sta alla base della logica e, arrivati a qualche assioma di base, ci si ferma, quindi non è dimostrabile ed affermare che abbia validità generale altre all’autoevidenza diventa rischioso. In ogni caso articoletto apprezzabile, mi sono piaciuti gli intermezzi con alcune note sui matematici di rilievo nel campo della Fantasia + Hilbert.