Logica = base della conoscenza?

Spesso, chi dedica la vita ad una branca del sapere, ritiene che quella disciplina sia la base di tutta la conoscenza umana. Ho assistito più di una volta a scontri dialettici (a volte fino al limite del dialettico, tendente al fisico!), tra matematici, filosofi, scienziati,…

Ma c’è una categoria di sapienti che, a mio parere, detiene il primato nella capacità di stimare la loro disciplina come unica e fondamentale per tutte le altre: la categoria dei logici.

Quella volta, a lezione di logica, il professore, giovane e molto in gamba, era impegnato a spiegare un teorema.

«Questa è la base della conoscenza» – disse – «grazie a questa relazione, noi siamo in grado di conoscere il mondo. Tutte le altre scienze sarebbero nulla, senza la logica

Devo ammettere che anch’io ho sentito il fascino di quella dimostrazione (e lo sento anche per la logica come scienza).
Poi mi venne un dubbio: “ma siamo nel contesto della scoperta o della giustificazione?” – ho chiesto al professore.

Mi spiego meglio. Nel caso del metodo deduttivo, si parte da principi, veri e già dimostrati, per ricavarne altri attraverso la logica (dal particolare all’universale). Il problema è che il metodo deduttivo (su cui Platone voleva fondare la conoscenza) può essere applicato in pochi casi ed è difficile da applicare alle scienze della natura, che come tutti sanno sono state fondate sul metodo opposto, quello induttivo (parto da casi particolari, per ricavare la legge generale [Rif. metodo induttivo]).

Quello che volevo dire è che, in molte circostanze, la legge logica serve a giustificare una conoscenza già acquisita, o congetturata, ma non può servire per “fare una scoperta”. Anche in matematica, dove il metodo deduttivo può essere applicato in misura molto maggiore rispetto alle altre scienze, sovente, i matematici partono da congetture per poi arrivare a dimostrare logicamente i loro asserti.

Ma la congettura come nasce? Mistero,lampo di genio, o intuizione poetica, come molti hanno detto.

Effettivamente, il professore – che diceva di non comprendere la mia domanda – avrebbe potuto sottolineare che la potenza della matematica non risiede nelle intuizioni poetiche, quanto nella dimostrabilità logica di tutti i suoi asserti. Una valanga di proposizioni tra loro collegate, tutte rigorosamente dimostrate in modo logico (anche se ricordando Gödel, rimarrà sempre qualche proposizione non dimostrabile logicamente). Se cade una sola proposizione, cade tutta la matematica che contiene quella proposizione. Un effetto domino devastante. Nel caso contrario, se riesco a dimostrare una proposizione da cui ne conseguono molte altre, ho creato molta matematica.
Quindi, la logica è certamente fondamentale, ma per le scoperte non è sufficiente.

Un’area dell’intelligenza artificiale ricerca i modi di poter programmare una macchina in modo tale che possa creare autonomamente nuova conoscenza, ma ancora i risultati sono scarsi. La macchina è logica, ma non ha intuizioni, o mele che possa sentir cadere sulla sua testa.
C’è un aneddoto su David Hilbert (uno dei più grandi matematici di tutti i tempi), che può far comprendere meglio cosa intendo dire.
Un giorno gli dissero che un suo studente aveva abbandonato l’università per diventare un poeta. E Hilbert rispose “Non sono sorpreso. Non aveva abbastanza immaginazione per diventare un matematico.”

David Hilbert
Foto di David Hilbert

Detto questo vorrei fare un piccolo esempio, con la semplicissima formula di Gauss, di cui avevamo già parlato in La semplicità del genio.

La somma dei primi N numeri interi positivi vale:

Somma= (N+1)* N/2

Se N= 100

Somma = 101 * 100/2 = 5050

Come ci si arriva in modo intuitivo?

1 + 100 = 101
2 + 99 = 101
3 + 98 = 101

49 + 52 = 101
50 + 51 = 101

Come possiamo osservare, c’è una struttura di base che si ripete. La somma tra alcune coppie di numeri dà il numero N (100) sommato ad 1. Questo succede per 50 volte, cioè N/2.
La scoperta non avviene attraverso la logica. E’ l’osservazione e l’intuizione che permettono quel salto tra l’ “ignorare qualcosa” e la sua conoscenza.

Così il piccolo Gauss ha trovato la formula. Quando poi il professore ha controllato la sua correttezza, non l’ha dimostrata, ma solo verificata.
Successivamente, per dimostrare la formula si può usare una dimostrazione che viene definita per induzione. E La dimostrazione per induzione è valida perché lo stabilisce la logica. Quindi la logica è certamente fondamentale, ma non è l’unico essere vivente nel mondo della conoscenza.

Il matematico Ramanujan Srinivasa Aaiyangar è un esempio di come si possano fare scoperte sensazionali, con la pura intuizione.
Egli inventava le formule dal nulla, affermando che gliele consegnava una certa Dea. Non aveva una preparazione universitaria, ma studiava autonomamente in un povero villaggio dell’India, con quei pochi libri che riusciva a rimediare. Ciò nonostante, le formule di Ramanujan sono di straordinaria bellezza:

formula di Ramanujan

dove sezione aurea è la sezione aurea.

“Ramanujan è stato uno dei più grandi matematici di tutti i tempi, al pari di Gauss o di Eulero, nonché un prodigio nelle capacità di calcolo: una specie di Mozart della matematica. Dotato di un talento straordinario per la teoria dei numeri, ha lasciato taccuini (Notebooks di Ramanujan) pieni di formule. Ancora oggi ci si chiede come abbia potuto scoprirle senza poterne dare delle vere dimostrazioni.”
Da Ramanujan

Srinivasa Ramanujan
Foto di Ramanujan

Come abbiamo detto però, in matematica, niente dimostrazione significa nessuna validità. Quindi,dopo Ramanujan (che morì a soli 33 anni) molti tra i migliori matematici del mondo, si sono dovuti prodigare nella ricerca di possibili dimostrazioni delle formule di Ramanujan, altrimenti inutili.

Quindi, logica sì, ma non dimentichiamoci che, per le invenzioni, serve anche qualche ingrediente in più.

8 Comments

  1. chiara 8 Giugno 2008
  2. nabladue 9 Giugno 2008
  3. dalloway66 11 Giugno 2008
  4. peppe 12 Giugno 2008
  5. a2punti 18 Giugno 2008
  6. Michele B. 23 Ottobre 2009
  7. Giacomo 3 Giugno 2011
  8. Martin Eden 5 Aprile 2013

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